Il percorso più breve ⁠

Il nostro pianeta, la Terra, ha la forma di una sfera leggermente schiacciata ai poli. Da abbastanza tempo gli uomini utilizzano un globo a forma di sfera per rappresentare la terra. Ma un mezzo ancora più antico per rappresentare la superficie della terra è la carta geografica.

La sfera è una superficie a curvatura positiva costante, e per questa ragione non è possibile rappresentarla su un piano senza distorsioni. I modi di costruire le mappe, ossia le proiezioni cartografiche, hanno una storia lunga e molto interes­sante. Alcuni di questi modi sono a noi più familiari, altri vengono usati solo in situazioni particolari e più raramente si incontrano nella vita quotidiana, ma questo è un argomento che richiede un altro filmato.

Un tempo in Russia c’era l’ottima tradizione di appendere una mappa del mondo in cucina o nella stanza dei ragazzi. A qualsiasi notizia veniva subito attribuita una concreta collocazione geografica.

Diamo un’occhiata a una mappa, realizzata in una delle proiezioni standard, e tracciamo su di essa la rotta lungo la quale gli aerei volano da Mosca alle città dell’est della Russia, per esempio, a Vladivostok. Se avete fatto questa rotta qualche volta, sicuramente avete notato che l’aereo passa molto a nord sulla carta.

I voli degli aeromobili, tutti sanno che sono molto costosi. Perché allora gli aerei scelgono di volare lungo un simile arco, quando si potrebbe volare lungo una rotta più breve, che corrisponde a un segmento di retta sulla carta?

La questione sta nel fatto che il concetto di distanza più breve è intrinsecamente legato alla superficie su cui le distanza viene misurata. Come abbiamo già notato, qualsiasi mappa piana della superficie terrestre è distorta. Consideriamo la traiettoria corrispondente sul globo. Solo ora possiamo misurare la lunghezza dei percorsi in discus­sione.

Per trovare la distanza più breve tra due punti su una sfera, è neces­sario fare passare un cerchio massimo attraverso di essi. Si tratta del cerchio formato dall’intersezione della sfera con il piano che passa attraverso il centro della sfera e i due punti. La minima distanza tra due punti sulla sfera è allora la lunghezza del minimo tra i due archi di cerchio massimo che congiungono i due punti. Questo arco è unico, se i due punti non sono diametralmente opposti sulla sfera. In matematica, una linea corrispondente alla distanza minima tra due punti su una superficie si chiama geodetica.

Tutti gli altri percorsi che congiungono Mosca a Vladivostok, compreso quello che sembrava rettilineo sulla mappa, saranno più lunghi di questo arco!

Come abbiamo visto, gli aerei volano proprio lungo archi di cerchi massimi, cioè lungo le rotte più brevi.