Traslazioni e rotazioni⁠

Per realizzare la simmetria piana (o rifles­sione) rispetto a un asse, facciamo uso di un rombo a quattro cerniere, costituito di quattro barre della stessa lunghezza e con due vertici opposti che muovono lungo un asse fisso (in rosso). Infatti , la posizione di una delle due cerniere libere (in verde), determina la lunghezza del lato opposto del triangolo, di cui essa è il vertice, e il triangolo opposto risulta essere uguale, per cui le due cerniere verdi del meccanismo si trovano sempre in posizione simmetrica rispetto all’asse.

Prendiamo come esempio un triangolo curvilineo, e guardiamo in che cosa si trasforma applicando il nostro meccanismo. Si ottiene una figura simmetrica. Più precisamente, essa è uguale alla figura iniziale ma è orientata in modo diverso. Ossia, se il piano fosse un foglio di carta infinito con la figura disegnata su di esso, allora bisognerebbe piegare in due il foglio lungo l’asse di simmetria, e ricalcare la figura dalla metà superiore a quella inferiore.

Applichiamo ora al triangolo, ottenuto col meccanismo che realizza la rifles­sione, lo stesso meccanismo, con l’asse parallelo a quello appena usato. Il triangolo che otteniamoha la stessa simmetria di quello iniziale, e può essere ottenuto da esso anche per trasporto parallelo, ossia per traslazione. Un doppio parallelogramma, con due cerniere fissate (in rosso) realizzaquesta applicazione nel piano. Così, il risultato di due rifles­sioni con assi paralleli è semplicemente una traslazione. È vero anche il reciproco, qualsiasi trasporto parallelo nel piano può essere scomposto in due rifles­sioni con assi paralleli. Come è facile vedere, questa scomposizione non è unica.

Questo risultato di applicazioni succes­sive in matematica viene chiamato composizione, e nella terminologia delle funzioni, funzione composta. Così, come nel linguaggio dell’analisi, il risultato della composizione si può ottenere sia applicando in succes­sione le azioni corrispondenti, sia facendone prima la composizione e applicandola come “prodotto”. L’oggetto-immagine risultante può essere del tutto diverso da quello iniziale, a cui è stata applicata la composizione.

Ma cosa succede, se gli assi di simmetria non sono paralleli?

La composizione di due rifles­sioni con assi non paralleli è una rotazione col centro nel punto di intersezione dei due assi. Inoltre l’angolo di cui la figura viene ruotata è uguale al doppio dell’angolo tra gli assi. Come nel caso dello spostamento, qualsiasi rotazione nel piano si può scomporre in due simmetrie assiali.

Un meccanismo a cerniere, basato sul rombo, realizzal’applicazione di rotazione nel piano.

Ma adesso applichiamo al piano (nell’esempio della nostra figura) in sequenza un trasporto parallelo e quindi una rotazione. È possibile ottenere la figura risultante da quella iniziale attraverso un’unica applicazione?

Scomponiamo la rotazione che abbiamo effettuato in due rifles­sioni. Da questa figura è evidente che il processo di ottenere il triangolo grigio e di applicare ad esso una rifles­sione può essere rimpiazzato da un’unica rifles­sione. Ma questa figura risulta allora dalla composizione di due rifles­sioni con assi non paralleli, a noi già nota, ovverosia semplicemente una rotazione.

Disegniamo un triangolo su un tavolo. Copriamolo con un foglio di carta e ricalchiamo la figura. Solleviamo il foglio e lasciamolo andare, in modo che cada senza rovesciarsi. In questo modo otteniamo, come dicono i matematici, uno spostamento “generico” del piano, ossia un’applicazione che conserva le distanze e non cambia l’orientazione. Ovviamente, può succedere che le figure si differenzino per una pura traslazione, ma la probabilità che il foglio si trovi in una posizione così precisa è estremamente piccola. In tutti gli altri casi si tratta di una semplice rotazione di un certo angolo rispetto a un certo centro.