Софокусные эллипсы и гиперболы: кулон⁠

Софокусные эллипсы и гиперболы ⁠⁠перпендикулярны друг другу. (Углом между гладкими кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым, проведёнными в этой точке.) Представляем кулон, в который заложены и математическая красота, и математическая суть. Он позволяет обсудить, как выглядят семейство эллипсов с данными фокусами, семейство гипербол с теми же фокусами, и что любой эллипс перпендикулярен любой гиперболе.

Перпендикулярность софокусных эллипсов и гипербол можно доказать геометрически, используя оптическое свойство для точки их пересечения. Для знающих комплексный анализ приведём ещё одно красивое доказательство.

Знаменитая функция Николая Егоровича Жуковского $f(z)=\frac{1}{2}{\left(z+\frac{1}{z}\right)}$, используемая в задачах аэродинамики, отображает полярную сетку из окружностей с центром в точке $z=0$ и их радиусов на комплексной плоскости в нашу картинку! — софокусные эллипсы и гиперболы с фокусами в точках $\pm 1$. А функция Жуковского — конформная (в областях, не содержащих $\pm 1$): сохраняет углы между кривыми.