На листе бумаги нарисовали произвольный многоугольник. Можно ли так сложить лист бумаги, чтобы вырезать многоугольник одним прямолинейным разрезом?
Рассмотрим простейший случай — произвольный треугольник.
Проведём биссектрисы и из точки их пересечения опустим перпендикуляры на стороны треугольника. По этим лучам и будем сгибать лист бумаги. Все границы треугольника — стороны — оказались лежащими на одной прямой. Сделаем вдоль неё прямолинейный разрез.
Развернём отрезанный уголок — это наш изначальный треугольник. Если развернуть оставшуюся часть листа, то видно, что ничего лишнего не вырезано — дырка тоже имеет вид изначального треугольника.
Нарисуем пятиконечную звезду. Это невыпуклый многоугольник с 10 вершинами. Однако в этом случае задача облегчается симметричностью звезды. Проведём лучи, исходящие из центра и проходящие через вершины. По этим лучам сложим лист бумаги. Отрежем уголок. После разворачивания получим вырезанную звезду и дырку в виде звезды.
Многоугольник, нарисованный в начале фильма, тоже может быть вырезан одним прямолинейным разрезом. В 1998 году была доказана общая
Теорема
Всегда можно так сложить лист бумаги, что любой многоугольник, нарисованный на нём, будет вырезаться одним прямолинейным разрезом.
Доказательство теоремы алгоритмично, т. е. авторы приводят способ, как сложить лист бумаги, чтобы конкретный нарисованный многоугольник можно было вырезать одним прямолинейным разрезом.
Letteratura
Demaine Erik D., Demaine Martin L., Lubiw Anna. Folding and cutting paper // Lecture Notes in Computer Science. — 1998. — V. 1763. — P. 104—117.
Altri etudi in “Geometria della carta”
